Numerisk linjär algebra för reglertekniska tillämpningar

För att bättre kunna beskriva dessa problem utgår vi från ett av dess tillämpningsområden, som är reglerteknik (reglerteori). Begreppet reglerteknik kan definieras så att det omfattar varje rationell metod för att styra ett system. Motivet för reglertekniken är att få ett system att operera mer pålitligt, mer exakt eller mer ekonomiskt trots störningar från systemets omgivning. Ordet system får här tas mycket allmänt. Det kan t ex vara en servomotor, en atomreaktor, en kemisk process, en gatukorsning, en biologisk, ekonomisk eller administrativ process. Systemet karaktäriseras av styrvariabler (eller insignaler) som vi förfogar över samt mätsignaler (eller utsignaler) med vars hjälp vi får information om systemet. Det reglertekniska grundproblemet är att bestämma en styrsignal sådan att systemets syfte uppfylls trots omgivningens verkan.

Ofta beskrivs ett reglersystem av en matematisk modell som kan representeras av två matriser A och B, vilka utgör ett så kallat matrisknippe (matrix pencil) A - s B.

Styrbara system

Ett reglersystem sägs vara styrbart om det från varje tänkbart tillstånd kan styras till varje annat tillstånd. I praktiken är vi förståss endast intresserade av styrbara system, dvs system som vi kan manövrera. Ett styrbart system som i någon mening är nära ett ett icke styrbart system kan ge upphov till besvär vid de beräkningar som utförs vid styrningen av systemet. Systemet får ett instabilt uppträdande och är i praktiken icke styrbart. Vidare kan närhet till ett icke styrbart system vara en indikation på felaktigheter i den matematiska modellen eller det underliggande verkliga systemet. Det är därför av stort intresse att känna till hur mycket ett system behöver störas för att bli icke styrbart, samt vilka egenskaper det närmaste icke styrbara systemet har.

Numerisk linjär algebra

Genom att transformera matriserna A och B till en speciell övertriangulär form, så kallad generaliserad schurform, så erhålls ett system med samma styrbarhetsegenskaper som det ursprungliga, men det nya systemet ger även information om huruvida systemet är styrbart eller inte och information om vilka begränsningar systemet har om det inte är styrbart. Vi arbetar för närvarande med att konstruera förbättrade algoritmer för att beräkna denna övertriangulära form så att vi även skall kunna beräkna den övertriangulära formen för närmaste icke styrbara system, den övertriangulära formen för det närmaste systemet med vissa (givna) defekter, etc.

Referenser

E. Elmroth. "On the Stratification of the Kronecker Canonical Form", Report UMINF-95.14, Department of Computing Science, Umeå University, S-901 87 Umeå, Sweden, May 1995.

E. Elmroth. "Matrix Computations: Factorizing in Parallel and Surfing the Kronecker Structure Hierarchies", PhD Thesis, UMINF-95.15, Department of Computing Science, Umeå University, S-901 87 Umeå, Sweden, May 1995.

E. Elmroth and B. Kågström. "The Set of 2-by-3 Matrix Pencils --- Kronecker Structures and their Transitions under Perturbations, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 17(1), pp 1-34, January 1996.

A. Edelman, E. Elmroth, and B. Kågström. "A Geometric Approach to Perturbation Theory of Matrices and Matrix Pencils. Part I: Versal Deformations", SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 18(3), pp 653-692, July 1997.

A. Edelman, E. Elmroth, and B. Kågström. "A Geometric Approach to Perturbation Theory of Matrices and Matrix Pencils. Part II: A Stratification-Enhanced Staircase Algorithm", Report UMINF-96.13, Department of Computing Science, Umeå University, S-901 87 Umeå, Sweden, June 1996 (revised August 30, 1996 and November 22, 1997). Submitted to SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications.